三角函数
三角函数是数学中研究角度与边长关系的重要函数，其历史可追溯至古代天文学与测量学。早在公元前2000年，巴比伦人就已经使用角度概念进行天文观测，而古埃及人则利用三角原理进行土地测量和金字塔建造。古希腊时期，希帕克斯（Hipparchus）被认为是三角学的奠基人，他编制了第一张已知的弦表，为后来的正弦函数奠定了基础。
公元5世纪，印度数学家阿耶波多（Aryabhata）引入了"jya"（弦的一半）的概念，这实际上就是现代的正弦函数。随后，阿拉伯学者如阿尔·花剌子模（Al-Khwarizmi）和阿尔·巴塔尼（Al-Battani）进一步发展了三角学，将其系统化并传播到欧洲。文艺复兴时期，雷格蒙塔努斯（Regiomontanus）撰写了第一部独立的三角学著作《论各种三角形》，标志着三角学成为一门独立学科。
在直角三角形中，以锐角记为θ，定义常见三角函数如下：正弦函数sinθ表示对边与斜边的比值，余弦函数cosθ表示邻边与斜边的比值，正切函数tanθ表示对边与邻边的比值。此外，还有它们的倒数函数：余割cscθ、正割secθ和余切cotθ。这些基本定义构成了三角学的核心内容。
教科书式证明：单位圆与直角三角形的定义推导（点此展开）
设直角三角形斜边长度为 \(c\)，对边为 \(a\)，邻边为 \(b\)。由定义：
\( \sin\theta=\dfrac{a}{c},\quad \cos\theta=\dfrac{b}{c},\quad \tan\theta=\dfrac{a}{b} \).
在单位圆（半径 1）上，若点 \(P(\cos\theta,\sin\theta)\)，则由圆方程 \(x^2+y^2=1\) 得出 \( \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 \)，这把三角比推广到任意角。
因此直角三角形定义与单位圆定义一致，适用于任意实数 θ（通过坐标与符号规则扩展象限）。
诱导公式
将某些角（如 \(\pi-\theta, \pi+\theta, -\theta\)）的三角函数值化为已知角的值，便于快速计算与符号判定。
| 角度 | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| \(-\theta\) | \(-\sin \theta\) | \(\cos \theta\) | \(-\tan \theta\) |
| \(\frac{\pi}{2} - \theta\) | \(\cos \theta\) | \(\sin \theta\) | \(\cot \theta\) |
| \(\frac{\pi}{2} + \theta\) | \(\cos \theta\) | \(-\sin \theta\) | \(-\cot \theta\) |
| \(\pi - \theta\) | \(\sin \theta\) | \(-\cos \theta\) | \(-\tan \theta\) |
| \(\pi + \theta\) | \(-\sin \theta\) | \(-\cos \theta\) | \(\tan \theta\) |
| \(\frac{3\pi}{2} - \theta\) | \(-\cos \theta\) | \(-\sin \theta\) | \(\cot \theta\) |
| \(\frac{3\pi}{2} + \theta\) | \(-\cos \theta\) | \(\sin \theta\) | \(-\cot \theta\) |
| \(2\pi - \theta\) | \(-\sin \theta\) | \(\cos \theta\) | \(-\tan \theta\) |
| \(2\pi + \theta\) | \(\sin \theta\) | \(\cos \theta\) | \(\tan \theta\) |
"奇变偶不变，符号看象限"
口诀解释：
1. "奇变偶不变"：当角度为 \( \frac{\pi}{2} \) 的奇数倍时，函数名改变（sin↔cos，tan↔cot）；当角度为 \( \frac{\pi}{2} \) 的偶数倍时，函数名不变。
2. "符号看象限"：把原角度看作锐角，判断诱导后的角度在哪个象限，根据该象限的三角函数符号确定结果的符号。
示例：对于 \( \sin(\pi + \theta) \)，π是\( \frac{\pi}{2} \)的2倍（偶数倍），所以函数名不变（仍为sin）；把θ看作锐角，π+θ在第三象限，sin在第三象限为负，所以结果为 \( -\sin\theta \)。
常用诱导公式列表（展开查看）
1. \( \sin(\pi-\theta)=\sin\theta \)
证明步骤：
（1）单位圆上，角 \( \theta \) 对应点 \(P(\cos\theta,\sin\theta)\)。
（2）角 \( \pi-\theta \) 对应点 \(Q(-\cos\theta,\sin\theta)\)。
（3）因此 \( \sin(\pi-\theta)=\sin\theta \)。
2. \( \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta \)
同理，观察点坐标横坐标取负即得证。
3. \( \tan(\pi-\theta)=-\tan\theta \)
由 \( \tan = \dfrac{\sin}{\cos} \) 与上述符号变化可得。
更多类似推导可通过单位圆象限性质逐步验证。
已知 \(\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \frac{3}{5}\)，求 \(\cos\theta\)。
解：根据诱导公式，\(\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos\theta\)，所以 \(\cos\theta = \frac{3}{5}\)。
化简：\(\sin(\pi - \theta) + \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)\)。
解：根据诱导公式，\(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta\)，\(\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin\theta\)，所以原式 = \(\sin\theta + \sin\theta = 2\sin\theta\)。
化简：\(\sin(-\theta) + \cos(\pi + \theta)\)。
解：根据诱导公式，\(\sin(-\theta) = -\sin\theta\)，\(\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta\)，所以原式 = \(-\sin\theta - \cos\theta\)。
已知 \(\sin(\pi + \theta) = -\frac{1}{3}\)，求 \(\sin\theta\)。
解：根据诱导公式，\(\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta\)，所以 \(-\sin\theta = -\frac{1}{3}\)，即 \(\sin\theta = \frac{1}{3}\)。
化简：\(\frac{\sin(\frac{3\pi}{2} - \theta)}{\cos(\frac{\pi}{2} + \theta)}\)。
解：根据诱导公式，\(\sin(\frac{3\pi}{2} - \theta) = \cos\theta\)，\(\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin\theta\)，所以原式 = \(\frac{\cos\theta}{-\sin\theta} = -\cot\theta\)。
倍角公式
用途：把 \(2\theta\) 表示为 \( \theta \) 的函数，用于化简、计算与证明恒等式。
常用倍角公式（展开查看逐步推导）
由和角公式：\( \sin(\theta+\phi)=\sin\theta\cos\phi+\cos\theta\sin\phi \)。令 \( \phi=\theta \)，得到：
（1）\( \sin 2\theta = \sin(\theta+\theta)=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta=2\sin\theta\cos\theta \).
（2）由 \( \cos(\theta+\theta)=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta \)，得：
\( \cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta \)。
代换 \( \cos^2=1-\sin^2 \) 或 \( \sin^2=1-\cos^2 \) 可得到等价形式：
\( \cos 2\theta=2\cos^2\theta-1 = 1-2\sin^2\theta \).
（3）\( \tan 2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} \)。证明：由 \( \tan(\theta+\theta)=\dfrac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\tan\theta} \).
已知 \(\sin\theta = \frac{3}{5}\)，且 \(\theta\) 为锐角，求 \(\sin 2\theta\) 和 \(\cos 2\theta\)。
解：由 \(\sin\theta = \frac{3}{5}\)，得 \(\cos\theta = \frac{4}{5}\)（因为θ为锐角）。
\(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}\)
\(\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = (\frac{4}{5})^2 - (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}\)
化简：\(\frac{\sin 2\theta}{1 + \cos 2\theta}\)。
解：\(\frac{\sin 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{1 + (2\cos^2\theta - 1)} = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{2\cos^2\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta\)
已知 \(\tan\theta = 2\)，求 \(\tan 2\theta\)。
解：\(\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} = \frac{2 \times 2}{1 - 2^2} = \frac{4}{1 - 4} = -\frac{4}{3}\)
证明：\(\frac{1 - \cos 2\theta}{\sin 2\theta} = \tan\theta\)。
证明：\(\frac{1 - \cos 2\theta}{\sin 2\theta} = \frac{1 - (1 - 2\sin^2\theta)}{2\sin\theta\cos\theta} = \frac{2\sin^2\theta}{2\sin\theta\cos\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta\)
已知 \(\cos 2\theta = \frac{3}{5}\)，求 \(\sin^4\theta - \cos^4\theta\)。
解：\(\sin^4\theta - \cos^4\theta = (\sin^2\theta - \cos^2\theta)(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = -\cos 2\theta \times 1 = -\frac{3}{5}\)
半角公式
当需要计算半角的正弦/余弦/正切时，或在积分与代换中使用。
公式与证明（展开查看）
从倍角公式 \( \cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha \)，令 \( \alpha=\theta/2 \)，得：
\( \cos\theta = 1 - 2\sin^2(\theta/2) \Rightarrow \sin^2(\theta/2)=\dfrac{1-\cos\theta}{2} \).
因此 \( \sin(\theta/2)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{2}} \)。类似地：
\( \cos(\theta/2)=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{2}} \)，
并推导出 \( \tan(\theta/2)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}} \) 或 \( \tan(\theta/2)=\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta} \) 等等（根据符号与象限选择正确号）。
已知 \(\cos\theta = \frac{3}{5}\)，且 \(\theta\) 为锐角，求 \(\sin\frac{\theta}{2}\) 和 \(\cos\frac{\theta}{2}\)。
解：因为θ为锐角，所以\(\frac{\theta}{2}\)也是锐角，取正号。
\(\sin\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\)
\(\cos\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{8}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\)
已知 \(\sin\theta = \frac{5}{13}\)，且 \(\theta\) 在第二象限，求 \(\tan\frac{\theta}{2}\)。
解：因为θ在第二象限，所以\(\cos\theta = -\frac{12}{13}\)，且\(\frac{\theta}{2}\)在第一象限，取正号。
\(\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{\frac{5}{13}}{1 - \frac{12}{13}} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{1}{13}} = 5\)
已知 \(\cos\theta = \frac{1}{3}\)，求 \(\sin\frac{\theta}{2}\)。
解：\(\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} = \pm\sqrt{\frac{1 - \frac{1}{3}}{2}} = \pm\sqrt{\frac{\frac{2}{3}}{2}} = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)
具体符号取决于\(\frac{\theta}{2}\)所在的象限。
证明：\(\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \tan\frac{\theta}{2}\)。
证明：\(\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{2\sin^2\frac{\theta}{2}}{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}} = \frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}} = \tan\frac{\theta}{2}\)
已知 \(\tan\frac{\theta}{2} = 2\)，求 \(\sin\theta\) 和 \(\cos\theta\)。
解：由半角公式，\(\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = 2\)
设 \(\sin\theta = 2k\)，\(1 + \cos\theta = k\)，则 \(\cos\theta = k - 1\)
由 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)，得 \((2k)^2 + (k-1)^2 = 1\)
\(4k^2 + k^2 - 2k + 1 = 1\)，\(5k^2 - 2k = 0\)，\(k(5k - 2) = 0\)
所以 \(k = \frac{2}{5}\)，\(\sin\theta = \frac{4}{5}\)，\(\cos\theta = -\frac{3}{5}\)
和差公式
用途：处理两个角之和或差的三角函数，常用于证明恒等式或简化表达式。
和差公式与证明（展开查看）
使用复数表示 \( e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \)，则：
\( e^{i(\theta+\phi)}=e^{i\theta}e^{i\phi} \Rightarrow \cos(\theta+\phi)+i\sin(\theta+\phi)=(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\phi+i\sin\phi) \).
比较实部与虚部得到：
\( \cos(\theta+\phi)=\cos\theta\cos\phi-\sin\theta\sin\phi \)
\( \sin(\theta+\phi)=\sin\theta\cos\phi+\cos\theta\sin\phi \)
从上式可推出差角公式及 tan 的和差公式等。
求 \(\sin 75^\circ\) 的值。
解：\(\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ\)
\(= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)
已知 \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\)，\(\cos\beta = \frac{5}{13}\)，且 \(\alpha\)、\(\beta\) 都是锐角，求 \(\cos(\alpha - \beta)\)。
解：由已知得 \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\)，\(\sin\beta = \frac{12}{13}\)
\(\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = \frac{4}{5} \times \frac{5}{13} + \frac{3}{5} \times \frac{12}{13} = \frac{20}{65} + \frac{36}{65} = \frac{56}{65}\)
已知 \(\tan\alpha = 2\)，\(\tan\beta = 3\)，求 \(\tan(\alpha + \beta)\)。
解：\(\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} = \frac{2 + 3}{1 - 2 \times 3} = \frac{5}{1 - 6} = -1\)
化简：\(\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta)\)。
解：\(\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta)\)
\(= \sin^2\alpha\cos^2\beta - \cos^2\alpha\sin^2\beta = \sin^2\alpha(1 - \sin^2\beta) - (1 - \sin^2\alpha)\sin^2\beta\)
\(= \sin^2\alpha - \sin^2\alpha\sin^2\beta - \sin^2\beta + \sin^2\alpha\sin^2\beta = \sin^2\alpha - \sin^2\beta\)
已知 \(\sin\alpha = \frac{4}{5}\)，\(\cos\beta = \frac{12}{13}\)，且 \(\alpha\)、\(\beta\) 都是锐角，求 \(\sin(\alpha + \beta)\)。
解：由已知得 \(\cos\alpha = \frac{3}{5}\)，\(\sin\beta = \frac{5}{13}\)
\(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \frac{4}{5} \times \frac{12}{13} + \frac{3}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{48}{65} + \frac{15}{65} = \frac{63}{65}\)
三角函数特殊值
列出常用角的单位圆坐标与三角函数值，便于速算。
| 角度 | 弧度 | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| 45° | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | 1 |
| 60° | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
| 90° | \(\frac{\pi}{2}\) | 1 | 0 | 不存在 |
单位圆上特殊值的原因（展开查看）
单位圆方程 \(x^2+y^2=1\)。对应角 θ 的点为 \( (\cos\theta,\sin\theta) \)。由已知的参考角与三角函数几何定义，得到上述数值表。
计算：\(\sin 30^\circ + \cos 60^\circ - \tan 45^\circ\)
解：\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)，\(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)，\(\tan 45^\circ = 1\)
原式 = \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 0\)
已知 \(\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，且 \(0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ\)，求 \(\theta\)。
解：由特殊值表可知，\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以 \(\theta = 60^\circ\)。
计算：\(\sin^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ\)
解：\(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
原式 = \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)
已知 \(\tan\theta = \sqrt{3}\)，且 \(0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ\)，求 \(\theta\)。
解：由特殊值表可知，\(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\)，所以 \(\theta = 60^\circ\)。
计算：\(\sin 30^\circ \cdot \cos 60^\circ + \cos 30^\circ \cdot \sin 60^\circ\)
解：\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)，\(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)，\(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
原式 = \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\)
三角函数图像
下面可单独查看每条三角函数曲线（区间 \([-2\pi,2\pi]\) 或适合的区间）。
三角函数解析式
用途：描述三角函数的基本性质，包括周期、振幅、相位和垂直位移等参数，用于分析和绘制函数图像。
参数说明：
• A - 振幅（Amplitude）：决定函数图像在垂直方向上的最大偏移量
• ω - 角频率（Angular Frequency）：决定函数的周期，周期 \( T = \frac{2\pi}{\omega} \)
• φ - 相位（Phase Shift）：决定函数图像在水平方向上的平移
• k - 垂直位移（Vertical Shift）：决定函数图像在垂直方向上的平移
图像说明（展开查看）
sin 与 cos 的周期为 \(2\pi\)。tan 的周期为 \( \pi \)，并在 \( \theta=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \) 出现垂直渐近线。cot、sec、csc 也有自己的周期与渐近线位置。
求函数 \(y = 2\sin(3x + \frac{\pi}{4})\) 的周期。
解：正弦函数的一般形式为 \(y = A\sin(\omega x + \varphi)\)，周期为 \(T = \frac{2\pi}{\omega}\)。
所以 \(T = \frac{2\pi}{3}\)。
求函数 \(y = \cos(x - \frac{\pi}{3})\) 的单调递增区间。
解：余弦函数的单调递增区间为 \([2k\pi + \pi, 2k\pi + 2\pi]\)，所以
\(2k\pi + \pi \leq x - \frac{\pi}{3} \leq 2k\pi + 2\pi\)
\(2k\pi + \frac{4\pi}{3} \leq x \leq 2k\pi + \frac{7\pi}{3}\)，其中 \(k \in \mathbb{Z}\)。
求函数 \(y = \tan(2x - \frac{\pi}{4})\) 的定义域。
解：正切函数的定义域为 \(2x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)，即
\(2x \neq \frac{3\pi}{4} + k\pi\)，\(x \neq \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}\)，其中 \(k \in \mathbb{Z}\)。
求函数 \(y = \sin x + \cos x\) 的最大值和最小值。
解：\(y = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})\)
最大值为 \(\sqrt{2}\)，最小值为 \(-\sqrt{2}\)。
求函数 \(y = \sec x\) 的单调递减区间。
解：正割函数 \(y = \sec x = \frac{1}{\cos x}\)，其单调性与余弦函数相反。
在区间 \((2k\pi, 2k\pi + \pi)\) 上，余弦函数递减，所以正割函数递增；
在区间 \((2k\pi + \pi, 2k\pi + 2\pi)\) 上，余弦函数递增，所以正割函数递减。
辅助角公式
用途：把 \( a\sin x + b\cos x \) 化为 \( R\sin(x+\phi) \) 形式，便于求最大/最小值或简化表达。
推导（展开查看）
设 \( R=\sqrt{a^2+b^2} \)，定义 \( \cos\phi=\dfrac{a}{R} \)，\( \sin\phi=\dfrac{b}{R} \)。
于是 \( a\sin x + b\cos x = R(\cos\phi\sin x + \sin\phi\cos x)=R\sin(x+\phi) \)。
这样可以方便地得到幅值 \(R\) 与相位 \( \phi \)，用于极值分析与相位比较。
将 \(3\sin x + 4\cos x\) 化为 \(R\sin(x+\phi)\) 的形式。
解：\(R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)
\(\cos\phi = \frac{3}{5}\)，\(\sin\phi = \frac{4}{5}\)，所以 \(\phi = \arcsin\frac{4}{5}\)
因此 \(3\sin x + 4\cos x = 5\sin(x + \arcsin\frac{4}{5})\)
求函数 \(y = \sin x + \sqrt{3}\cos x\) 的最大值和最小值。
解：\(R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2\)
所以 \(y = 2\sin(x + \frac{\pi}{3})\)
最大值为 2，最小值为 -2。
将 \(5\cos x - 12\sin x\) 化为 \(R\cos(x+\phi)\) 的形式。
解：\(R = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = 13\)
\(\cos\phi = \frac{5}{13}\)，\(\sin\phi = \frac{12}{13}\)，所以 \(\phi = \arccos\frac{5}{13}\)
因此 \(5\cos x - 12\sin x = 13\cos(x + \arccos\frac{5}{13})\)
求函数 \(y = \sqrt{3}\sin x + \cos x\) 的周期和最大值。
解：\(R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2\)
所以 \(y = 2\sin(x + \frac{\pi}{6})\)
周期为 \(2\pi\)，最大值为 2。
求函数 \(y = \sin x + \cos x\) 在区间 \([0, \frac{\pi}{2}]\) 上的最大值和最小值。
解：\(y = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})\)
当 \(x \in [0, \frac{\pi}{2}]\) 时，\(x + \frac{\pi}{4} \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]\)
所以最大值为 \(\sqrt{2}\)（当 \(x = \frac{\pi}{4}\) 时），最小值为 1（当 \(x = 0\) 或 \(x = \frac{\pi}{2}\) 时）。
三角恒等式
列出并证明常见恒等式。
\( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)
在单位圆上，点 \(P(\cos\theta,\sin\theta)\) 满足 \(x^2+y^2=1\)。因此直接得到 \( \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 \)。这是所有三角恒等式的基础。
\( 1+\tan^2\theta=\sec^2\theta \)
从 \( \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \) 两边同时除以 \( \cos^2\theta \) 得：
\( \tan^2\theta+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}=\sec^2\theta \) 。
\( 1+\cot^2\theta=\csc^2\theta \)
类似地，对原恒等式两边除以 \( \sin^2\theta \) 即得。
已知 \(\tan\theta = 2\)，求 \(\sin\theta\) 和 \(\cos\theta\)。
解：由 \(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\) 得 \(1 + 4 = \sec^2\theta\)，所以 \(\sec\theta = \pm\sqrt{5}\)，\(\cos\theta = \pm\frac{1}{\sqrt{5}}\)
由 \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 2\)，得 \(\sin\theta = 2\cos\theta = \pm\frac{2}{\sqrt{5}}\)
证明：\(\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta} = (\csc\theta - \cot\theta)^2\)
证明：右边 = \((\frac{1}{\sin\theta} - \frac{\cos\theta}{\sin\theta})^2 = (\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta})^2 = \frac{(1 - \cos\theta)^2}{\sin^2\theta} = \frac{(1 - \cos\theta)^2}{1 - \cos^2\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}\) = 左边
化简：\(\frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} + \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta}\)
解：原式 = \(\frac{\sin^2\theta + (1 + \cos\theta)^2}{\sin\theta(1 + \cos\theta)} = \frac{\sin^2\theta + 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta(1 + \cos\theta)}\)
\(= \frac{(\sin^2\theta + \cos^2\theta) + 1 + 2\cos\theta}{\sin\theta(1 + \cos\theta)} = \frac{2 + 2\cos\theta}{\sin\theta(1 + \cos\theta)} = \frac{2(1 + \cos\theta)}{\sin\theta(1 + \cos\theta)} = \frac{2}{\sin\theta} = 2\csc\theta\)
证明：\(\frac{\tan\theta + \cot\theta}{\sec\theta \csc\theta} = 1\)
证明：左边 = \(\frac{\frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta}}{\frac{1}{\cos\theta} \cdot \frac{1}{\sin\theta}} = \frac{\frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}}{\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}} = \frac{\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}}{\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}} = 1\)
已知 \(\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2}\)，求 \(\sin\theta\cos\theta\)。
解：\((\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta\)
所以 \(\frac{1}{4} = 1 + 2\sin\theta\cos\theta\)，即 \(2\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{4}\)，\(\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8}\)
正弦定理与余弦定理
用途：解决任意三角形中的边角关系问题。
正弦定理与余弦定理的证明（展开查看）
正弦定理证明：
设三角形ABC的外接圆半径为R，根据圆周角定理，有：
\( \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R \)
证明可通过构造直径或利用面积公式完成。
余弦定理证明：
在三角形ABC中，设顶点A在原点，边AB在x轴上，则：
\( B = (c, 0) \)，\( C = (b\cos A, b\sin A) \)
由两点间距离公式：
\( a^2 = (b\cos A - c)^2 + (b\sin A)^2 = b^2\cos^2 A - 2bc\cos A + c^2 + b^2\sin^2 A = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \)
在三角形ABC中，已知a=5，b=7，c=8，求角A。
解：根据余弦定理：
\( \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{7^2 + 8^2 - 5^2}{2 \times 7 \times 8} = \dfrac{49 + 64 - 25}{112} = \dfrac{88}{112} = \dfrac{11}{14} \)
所以 \( A = \arccos\dfrac{11}{14} \)
在三角形ABC中，已知a=6，b=8，A=30°，求角B。
解：根据正弦定理：
\( \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} \Rightarrow \dfrac{6}{\sin 30^\circ} = \dfrac{8}{\sin B} \Rightarrow \dfrac{6}{0.5} = \dfrac{8}{\sin B} \Rightarrow 12 = \dfrac{8}{\sin B} \)
所以 \( \sin B = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3} \)，\( B = \arcsin\dfrac{2}{3} \) 或 \( B = 180^\circ - \arcsin\dfrac{2}{3} \)
在三角形ABC中，已知a=7，b=5，c=10，求三角形面积。
解：首先用余弦定理求角C：
\( \cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \dfrac{49 + 25 - 100}{2 \times 7 \times 5} = \dfrac{-26}{70} = -\dfrac{13}{35} \)
然后 \( \sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{13}{35}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1225 - 169}{1225}} = \sqrt{\dfrac{1056}{1225}} = \dfrac{4\sqrt{66}}{35} \)
面积 \( S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2} \times 7 \times 5 \times \dfrac{4\sqrt{66}}{35} = 2\sqrt{66} \)
在三角形ABC中，已知a=8，b=6，C=60°，求边c。
解：根据余弦定理：
\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 64 + 36 - 2 \times 8 \times 6 \times \cos 60^\circ = 100 - 96 \times 0.5 = 100 - 48 = 52 \)
所以 \( c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \)
在三角形ABC中，已知a=5，b=7，c=8，求三角形外接圆半径R。
解：首先用余弦定理求角A：
\( \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{49 + 64 - 25}{2 \times 7 \times 8} = \dfrac{88}{112} = \dfrac{11}{14} \)
然后 \( \sin A = \sqrt{1 - \left(\dfrac{11}{14}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{196 - 121}{196}} = \sqrt{\dfrac{75}{196}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{14} \)
根据正弦定理：\( 2R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{5}{\dfrac{5\sqrt{3}}{14}} = \dfrac{5 \times 14}{5\sqrt{3}} = \dfrac{14}{\sqrt{3}} \)
所以 \( R = \dfrac{7}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3} \)
三角形面积公式
用途：计算三角形的面积，有多种表达形式。
三角形面积公式的推导（展开查看）
两边及夹角公式推导：
设三角形ABC，边a、b及其夹角C。从顶点B作高h到边b：
\( h = a\sin C \)，所以 \( S = \dfrac{1}{2}bh = \dfrac{1}{2}ab\sin C \)
海伦公式推导：
设三角形ABC，半周长 \( s = \dfrac{a+b+c}{2} \)
根据余弦定理和代数变换，可以证明：
\( S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
内切圆半径公式推导：
设内切圆半径为r，连接内心与各顶点，将三角形分为三个小三角形：
\( S = S_1 + S_2 + S_3 = \dfrac{1}{2}ar + \dfrac{1}{2}br + \dfrac{1}{2}cr = \dfrac{1}{2}r(a+b+c) = rs \)
外接圆半径公式推导：
根据正弦定理：\( a = 2R\sin A \)，代入面积公式：
\( S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}b \cdot 2R\sin B \cdot \dfrac{a}{2R\sin A} \cdot \sin A = \dfrac{abc}{4R} \)
在三角形ABC中，已知a=5，b=6，C=30°，求三角形面积。
解：根据两边及夹角公式：
\( S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \sin 30^\circ = 15 \times 0.5 = 7.5 \)
在三角形ABC中，已知a=7，b=8，c=9，用海伦公式求面积。
解：首先计算半周长：
\( s = \dfrac{a+b+c}{2} = \dfrac{7+8+9}{2} = 12 \)
然后 \( S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} = 6\sqrt{20} = 12\sqrt{5} \)
在三角形ABC中，已知a=6，b=8，c=10，求内切圆半径。
解：首先用海伦公式求面积：
\( s = \dfrac{6+8+10}{2} = 12 \)
\( S = \sqrt{12 \times 6 \times 4 \times 2} = \sqrt{576} = 24 \)
然后 \( r = \dfrac{S}{s} = \dfrac{24}{12} = 2 \)
在三角形ABC中，已知a=5，b=6，c=7，求外接圆半径。
解：首先用海伦公式求面积：
\( s = \dfrac{5+6+7}{2} = 9 \)
\( S = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \)
然后 \( R = \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{5 \times 6 \times 7}{4 \times 6\sqrt{6}} = \dfrac{210}{24\sqrt{6}} = \dfrac{35}{4\sqrt{6}} = \dfrac{35\sqrt{6}}{24} \)
在三角形ABC中，已知a=8，b=10，面积S=20，求角C。
解：根据两边及夹角公式：
\( S = \dfrac{1}{2}ab\sin C \Rightarrow 20 = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 10 \times \sin C \Rightarrow 20 = 40\sin C \)
所以 \( \sin C = \dfrac{1}{2} \)，\( C = 30^\circ \) 或 \( C = 150^\circ \)